Exercice 4, § 7

Soient $n \in \mathbf{N}^*$, $p$ un nombre premier, G l’ensemble des matrices appartenant à $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}_p)$ dont tous les éléments sont congrus à 1 modulo $p$ si $p \neq 2$ (resp. modulo 4 si $p = 2$). Alors G est un sous-groupe ouvert de $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}_p)$. a) Montrer que G n’a pas d’élément d’ordre fini $\neq 1$. b) Montrer que tout sous-groupe fini de $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}_p)$ est isomorphe à un sous-groupe de $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}/p\mathbf{Z})$ si $p \neq 2$ (resp. de $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}/4\mathbf{Z})$ si $p = 2$).