Bài tập 4, § 7

Cho $n \in \mathbf{N}^*$, $p$ là một số nguyên tố và $G$ là tập hợp các ma trận thuộc $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}_p)$ mà tất cả các phần tử của chúng đều đồng dư với 1 modulo $p$ nếu $p \neq 2$ (tương ứng modulo 4 nếu $p = 2$). Khi đó $G$ là một nhóm con mở của $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}_p)$.

(a) Chứng minh rằng $G$ không có phần tử nào có cấp hữu hạn $\neq 1$.

(b) Chứng minh rằng mọi nhóm con hữu hạn của $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}_p)$ đều đẳng cấu với một nhóm con của $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}/p\mathbf{Z})$ nếu $p \neq 2$ (tương ứng $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}/4\mathbf{Z})$ nếu $p = 2$).