Exercice 5, § 7

a) Soit $\Gamma$ un sous-groupe compact de $G = \mathbf{GL}(n, \mathbf{Q}_p)$. Montrer qu’il existe un conjugué de $\Gamma$ qui est contenu dans $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}_p)$. (Si T est un réseau de $\mathbf{Q}_p^n$ par rapport à $\mathbf{Z}_p$ (AC, VII, § 4, déf. 1), montrer que le stabilisateur de T dans $\Gamma$ est ouvert dans $\Gamma$, donc d’indice fini, et $\sum_{\gamma \in \Gamma} \gamma T$ est un réseau stable par $\Gamma$.) b) En déduire que $G_f$ est la réunion des conjugués de $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}_p)$. c) En déduire que tout sous-groupe fini $\Phi$ de $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Q}_p)$ a pour ordre un diviseur de $a_n(p)$, où $a_n(p)$ est défini par

(Grâce à a), on peut supposer que $\Phi \subset \mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}_p)$. Utiliser alors l’exerc. 4).

d) Montrer que tout sous-groupe fini de $\mathbf{SL}(n, \mathbf{Q}_p)$ a pour ordre un diviseur de $s_n(p)$, où