Bài tập 5, § 7

(a) Cho $\Gamma$ là một nhóm con compact của $G = \mathbf{GL}(n, \mathbf{Q}_p)$. Chứng minh rằng tồn tại một liên hợp của $\Gamma$ được chứa trong $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}_p)$. (Nếu $T$ là một dàn của $\mathbf{Q}_p^n$ đối với $\mathbf{Z}_p$ (Đại số giao hoán, Chương VII, § 4, Định nghĩa 1), chứng minh rằng nhóm ổn định của $T$ trong $\Gamma$ là mở trong $\Gamma$ và do đó có chỉ số hữu hạn và $\sum_{\gamma \in \Gamma} \gamma T$ là một dàn ổn định dưới tác động của $\Gamma$.)

(b) Suy ra rằng $G_f$ là hợp của các liên hợp của $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}_p)$.

(c) Suy ra rằng mọi nhóm con hữu hạn $\Phi$ của $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Q}_p)$ có cấp là một ước của $a_n(p)$, trong đó $a_n(p)$ được định nghĩa bởi

(Dùng (a), có thể giả sử rằng $\Phi \subset \mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}_p)$. Sau đó dùng Bài tập 4.)

(d) Chứng minh rằng mọi nhóm con hữu hạn của $\mathbf{SL}(n, \mathbf{Q}_p)$ có cấp là một ước của $s_n(p)$, trong đó $s_n(p) = \frac{a_n(p)}{p-1}$ với $p \neq 2$ và $s_n(2) = \frac{a_n(2)}{2}$.