Exercice 7, § 7

Dans cet exercice, on note $v_2(a)$ la valuation 2-adique d’un entier $a$. a) Soit $\Gamma$ un sous-groupe fini de $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Q})$. Montrer qu’il existe une forme quadratique positive non dégénérée, à coefficients dans $\mathbf{Z}$, qui est invariante par $\Gamma$. En déduire (par le même argument que dans les exercices 4 et 5) que, pour tout $p$ assez grand, $\Gamma$ est isomorphe à un sous-groupe d’un groupe orthogonal $\mathbf{O}(n)$ sur le corps $\mathbf{F}_p$ (resp. à un sous-groupe de $\mathbf{SO}(n)$ si $\Gamma$ est contenu dans $\mathbf{SL}(n, \mathbf{Q})$). b) On suppose $\Gamma$ contenu dans $\mathbf{SL}(n, \mathbf{Q})$ et l’on note $2^e$ la plus grande puissance de 2 divisant l’ordre de $\Gamma$. Montrer que, si $n$ est impair, $2^e$ divise tous les entiers

pour $p$ premier assez grand. (Utiliser $a$ ainsi que l’exerc. 13 de A, IX, § 6.) Montrer que, si $n$ est pair et $p$ premier assez grand, $2^e$ divise le ppcm $b_n(p)$ des entiers (Même méthode que pour $n$ impair.) c) Les hypothèses étant celles de $b$), on pose Soit $A$ un entier $\geqslant 3$. Montrer que $2^{r(2, n)-1}$ est la plus grande puissance de 2 qui divise tous les $b_n(p)$ pour $p \geqslant A$. (Même méthode¹ que dans l’exerc. 6; utiliser l’existence d’un nombre premier $p \geqslant A$ tel que $p \equiv 5 \pmod{8}$). En déduire l’inégalité $e \leqslant r(2, n) - 1$. d) Inversement, soit $C_n$ le sous-groupe de $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z})$ engendré par les matrices de permutations ainsi que par les matrices diagonales à coefficients $\pm 1$. L’ordre de $C_n$ est $2^n n!$, et l’on a $v_2(2^n n!) = r(2, n)$. Si $\Gamma_{2,n}$ désigne l’intersection d’un 2-groupe de Sylow de $C_n$ avec $\mathbf{SL}(n, \mathbf{Z})$, en déduire que l’ordre de $\Gamma_{2,n}$ est $2^{r(2, n)-1}$.