Bài tập 7, § 7

Trong bài tập này, cho $v_2(a)$ là định giá 2-adic của một số nguyên $a$.

(a) Cho $\Gamma$ là một nhóm con hữu hạn của $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Q})$. Chứng minh rằng tồn tại một dạng toàn phương xác định dương với các hệ số trong $\mathbf{Z}$, bất biến dưới $\Gamma$. Suy ra (bằng cùng một phương pháp như trong các Bài tập 4 và 5) rằng, với mọi $p$ đủ lớn, $\Gamma$ đẳng cấu với một nhóm con của một nhóm trực giao $\mathbf{O}(n)$ trên trường $\mathbf{F}_p$ (tương ứng, một nhóm con của $\mathbf{SO}(n)$ nếu $\Gamma$ được chứa trong $\mathbf{SL}(n, \mathbf{Q})$).

(b) Giả sử rằng $\Gamma$ được chứa trong $\mathbf{SL}(n, \mathbf{Q})$ và cho $2^e$ là lũy thừa lớn nhất của 2 chia cấp của $\Gamma$. Chứng minh rằng, nếu $n$ là lẻ, $2^e$ chia mọi số nguyên

với $p$ nguyên tố đủ lớn. (Dùng (a) và Bài tập 13 của Đại số, Chương IX, § 6.)

Chứng minh rằng, nếu $n$ là chẵn và $p$ là một số nguyên tố đủ lớn, $2^e$ chia bội chung nhỏ nhất $b_n(p)$ của các số nguyên

(Cùng phương pháp như đối với $n$ lẻ.)

(c) Dưới các giả thiết của (b), ta viết

Cho $A$ là một số nguyên $\geqslant 3$. Chứng minh rằng $2^{r(2, n)-1}$ là lũy thừa lớn nhất của 2 chia tất cả các $b_n(p)$ với $p \geqslant A$. (Cùng phương pháp† như trong Bài tập 6; dùng sự tồn tại của một số nguyên tố $p \geqslant A$ sao cho $p \equiv 5 \pmod{8}$.) Suy ra bất đẳng thức $e \leqslant r(2, n) - 1$.

(d) Ngược lại, cho $C_n$ là nhóm con của $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z})$ sinh bởi các ma trận hoán vị và các ma trận đường chéo có các hệ số $\pm 1$. Cấp của $C_n$ là $2^{nn!}$ và $v_2(2^{nn!}) = r(2, n)$. Nếu $\Gamma_{2, n}$ là giao của một nhóm 2-Sylow của $C_n$ với $\mathbf{SL}(n, \mathbf{Z})$, suy ra rằng cấp của $\Gamma_{2, n}$ là $2^{r(2, n)-1}$.