Exercice 8, § 7

Soit $n$ un entier $\geqslant 1$. On pose

le produit étant étendu à tous les nombres premiers $l$, et les $r(l, n)$ étant définis comme dans les exerc. 6 et 7. On a $M(1) = 2, M(2) = 2^3 \cdot 3 = 24, M(3) = 2^4 \cdot 3 = 48, M(4) = 2^7 \cdot 3^2 \cdot 5 = 5760$. Déduire des exercices 6 et 7 que le ppcm des ordres des sous-groupes finis de $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Q})$ (ou de $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z})$, cela revient au même) est égal à $M(n)$. Même question pour $\mathbf{SL}(n, \mathbf{Q})$ avec $M(n)$ remplacé par $\frac{1}{2} M(n)$.