Exercice 37, § 9

Soient G un groupe de Lie réel compact, G′ un groupe de Lie réel connexe de dimension finie. On suppose que L(G) est simple. Soit ρ : G → G′ un homomorphisme de groupes abstraits. On suppose qu’il existe un voisinage V de e_G dans G tel que ρ(V) soit relativement compact. Alors ρ est continu. (Soit V′ un voisinage de e_{G′} dans G′. Soit V″ ⊂ V′ un voisinage de e_{G′} tel que

où n = dim G. On peut supposer ρ non triviale. Alors Ker ρ est fini d’après l’exerc. 25. Par suite, ρ(G) est non dénombrable, donc non discret. On peut donc trouver g ∈ G de centralisateur non ouvert tel que ρ(g) ∈ V″. Utilisant l’exerc. 9 du § 4 et ses notations, on a ρ(M(g, n, V)) ⊂ V′, et M(g, n, V) est un voisinage de e_G dans G.)