Bài tập 37, § 9

Cho $G$ là một nhóm Lie thực compact và $G'$ là một nhóm Lie thực liên thông hữu hạn chiều. Giả sử rằng $L(G)$ là đơn. Cho $\rho : G \to G'$ là một đồng cấu của các nhóm trừu tượng. Giả sử rằng tồn tại một lân cận $V$ của $e_G$ trong $G$ sao cho $\rho(V)$ là tương đối compact. Khi đó $\rho$ là liên tục. (Cho $V'$ là một lân cận của $e_{G'}$ trong $G'$. Cho $V'' \subset V'$ là một lân cận của $e_{G'}$ sao cho

trong đó $n = \dim G$. Có thể giả sử rằng $\rho$ là không tầm thường. Khi đó $\mathrm{Ker}\, \rho$ là hữu hạn theo Bài tập 25. Do đó $\rho(G)$ không đếm được và vì thế không rời rạc. Suy ra tồn tại $g \in G$ có tập trung tâm hóa không mở sao cho $\rho(g) \in V''$. Sử dụng Bài tập 9 của § 4 và ký hiệu của nó, ta có $\rho(M(g, n, V)) \subset V'$ và $M(g, n, V)$ là một lân cận của $e_G$ trong $G$.)