Exercice 17, § 1

On garde les notations de l’exerc. 16 et on suppose $W$ fini. Soit $\mathfrak{H}$ l’ensemble des murs de $A$. À tout $H \in \mathfrak{H}$, on associe la moitié $H^+$ de $A$ déterminée par $H$ et contenant $C$. Montrer qu’on peut numérotter les éléments de $H$ de telle sorte que l’application $j \mapsto \bigcap_{i \leq j} H_i^+$ soit strictement décroissante sur l’intervalle $\{ 1, \operatorname{Card}(\mathfrak{H}) \}$. (Considérer la famille $\tilde{\mathfrak{Y}}$ des intersections d’ensembles $H^+$ ordonnée par inclusion et considérer une suite $(F_0, \ldots, F_q)$ strictement décroissante de longueur maximale d’éléments de $\tilde{\mathfrak{Y}}$; pour tout $H \in \mathfrak{H}$, il existe un $i$ tel que $H^+ \supset F_j$ pour $j \geq i$ et $H^+ \not\supset F_{i-1}$ : montrer que $F_i = H^+ \cap F_{i-1}$.)