Exercice 25, § 1

Groupes et algèbres de Lie, IV

Soit $I$ un ensemble et soit $\mathfrak{J}$ l’ensemble des parties finies de $I$ . Pour tout $A \in \mathfrak{J}$ , on pose $\varepsilon(A) = (-1)^{\mathrm{Card}(A)}$ . Soit $G$ un groupe commutatif, noté additivement, et soient $\varphi$ et $\psi$ deux applications de $\mathfrak{F}$ dans G. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

(i)

\varphi(A) = \sum_{B \subset A} \psi(B) \quad \text{pour tout } A \in \mathfrak{F};

(ii)

\psi(A) = \sum_{B \subset A} \varepsilon(A - B)\varphi(B) \quad \text{pour tout } A \in \mathfrak{F}.

Solution

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