Exercice 4, § 1

Soit $n$ un entier $\geq 2$. Pour tout entier $i$ avec $1 \leq i \leq n - 1$, on note $s_i$ la transposition de $i$ et $i + 1$ dans l’ensemble $\{1, 2, \ldots, n\}$, et $H_i$ l’ensemble des $w \in \mathfrak{S}_n$ tels que $w^{-1}(i) < w^{-1}(i+1)$; on pose $S = \{s_1, \ldots, s_{n-1}\}$. Montrer que $(\mathfrak{S}_n, S)$ est un système de Coxeter et que $H_i$ est l’ensemble des $w \in \mathfrak{S}_n$ tels que $l(w) < l(s_i w)$ (utiliser la prop. 6 du n° 7).