Exercice 6, § 1

Soient $E$ un ensemble à 6 éléments et $F$ l’ensemble des structures de droite projective par rapport au corps $\mathbf{F}_5$ sur $E$. On note $\mathfrak{S}_F$ le groupe des permutations de $E$; pour tout $\sigma \in \mathfrak{S}_E$, on note $\tilde{\sigma}$ la permutation de $F$ déduite de $\sigma$ par transport de structure. Montrer qu’il existe une bijection $u$ de $E$ sur $F$, et que l’application $\sigma \mapsto u^{-1} \tilde{\sigma} u$ est un automorphisme non intérieur de $\mathfrak{S}_E$ (si $s$ est une transposition, $u^{-1} \tilde{s} u$ a trois orbites à deux éléments).