Exercice 15, § 2

Reprenons les hypothèses et notations de l’exerc. 10. On suppose de plus que le groupe de Weyl W de (G, B) est fini et on désigne par $w_0$ l’élément de plus grande longueur de W ($§ 1$, exerc. 22). On dit que deux chambres C et $C'$ sont opposées si $t(C, C') = w_0$.

a) Montrer que si C et $C'$ sont opposées, $C'$ et C le sont aussi. Montrer que toute chambre C admet une opposée. Montrer que le stabilisateur d’une chambre C dans G est transitif sur l’ensemble des chambres opposées à C.

b) Soient C et $C'$ deux chambres opposées. Montrer que pour tout $w \in W$, il existe une chambre $C_w$ et une seule possédant la propriété suivante : si $(s_1, \ldots, s_k)$ (resp. $(s'_1, \ldots, s'_h)$) est une décomposition réduite de $w$ (resp. de $w' = w_0 w^{-1}$), il existe une galerie minimale $(C_0 = C, C_1, \ldots, C_n = C')$ de type $(s_1, \ldots, s_k, s'_1, \ldots, s'_h)$ (avec $n = h + k$) telle que $C_w = C_k$ (utiliser l’exerc. 22 du § 1 et l’exerc. 10, d) et e)). Montrer que $C_w$ et $C_{w w_0}$ sont opposées.

c) Soit $\mathscr{M}$ l’ensemble des couples de chambres opposées. Pour $m = (C, C') \in \mathscr{M}$, soit $A_m$ la réunion des chambres $C_w$ construites comme ci-dessus. Montrer que I muni de l’ensemble $\mathscr{A}$ des $A_m$ pour $m \in \mathscr{M}$ est un immeuble structuré ($§ 1$, exerc. 24) et que le système de Coxeter (W, S) et le numérotage de I sont adaptés à (I, $\mathscr{A}$) ; définir une bijection canonique de $\mathscr{M}$ sur l’ensemble noté $\mathfrak{J}$ dans l’exerc. 24 du § 1. On identifie ces deux ensembles.

d) Soit $m = (C, C') \in \mathscr{M}$, avec $C = C_e$, et soit N le stabilisateur de $A_m$ dans G. Montrer que $N/(B \cap N)$ s’identifie à W et que (G, B, N, S) est un système de Tits saturé (utiliser l’exerc. 13).