Bài tập 15, § 2

Ta sử dụng các giả thiết và ký hiệu của Bài tập 10. Giả sử thêm rằng nhóm Weyl W của $(G, B)$ là hữu hạn và ký hiệu $w_0$ là phần tử dài nhất của W (§ 1, Bài tập 22). Hai phòng $C$ và $C'$ được gọi là đối nhau nếu $t(C, C') = w_0$.

a) Chứng minh rằng nếu C và C' đối nhau thì C' và C cũng đối nhau. Chứng minh rằng tồn tại một phòng đối với mọi phòng C đã cho. Chứng minh rằng nhóm ổn định của một phòng C trong G tác động bắc cầu lên tập hợp các phòng đối với C.

b) Cho C và C' là hai phòng đối nhau. Chứng minh rằng với mọi $w \in W$, tồn tại duy nhất một phòng $C_w$ có tính chất sau: nếu $(s_1, \ldots, s_k)$ (tương ứng $(s'_1, \ldots, s'_h)$) là một phân tích rút gọn của w (tương ứng của $w' = w_0 w^{-1}$), tồn tại một đường đi tối tiểu $(C_0 = C, C_1, \ldots, C_n = C')$ có kiểu $(s_1, \ldots, s_k, s'_1, \ldots, s'_h)$ (với $n = h + k$) sao cho $C_{w'} = C_k$ (sử dụng Bài tập 22 của §1 và Bài tập 10, d) và e)). Chứng minh rằng $C_w$ và $C_{w w_0}$ là đối nhau.

c) Cho $\mathscr{M}$ là tập hợp các cặp phòng đối nhau. Với $m = (C, C') \in \mathscr{M}$, cho $A_m$ là hợp của các phòng $C_w$ được xây dựng ở trên. Chứng minh rằng I được trang bị tập hợp $\mathscr{U}$ gồm các $A_m$ với $m \in \mathscr{M}$ là một building có cấu trúc ($§ 1$, Bài tập 24) và rằng hệ Coxeter $(W, S)$ và cách đánh số của I là thích nghi với $(I, \mathscr{U})$; định nghĩa một song ánh chính tắc từ $\mathscr{M}$ đến tập hợp được ký hiệu là $J$ trong Bài tập 24 của $§ 1$. Ta đồng nhất hai tập hợp này.

d) Cho $m = (C, C') \in \mathscr{M}$ với $C = C_e$, và cho N là nhóm ổn định của $A_m$ trong G. Chứng minh rằng $N/(B \cap N)$ có thể được đồng nhất với W và rằng $(G, B, N, S)$ là một hệ Tits bão hòa (sử dụng Bài tập 13).