Exercice 20, § 2

Reprenons les notations du no 2, en supposant de plus k commutatif. On se place dans l’un des cas suivants :

(B_l) $n = 2l + 1$ (avec $l \geq 1$), k est de caractéristique $\neq 2$ et $k^n$ est muni de la forme quadratique $Q = x_1x_n + \cdots + x_ix_{i+2} + x_{i+1}^2$;

(C_l) $n = 2l$ (avec $l \geq 1$) et $k^n$ est muni de la forme alternée $\Phi$ telle que $\Phi(e_i, e_j) = 0$ pour $1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n$ et $i \leq j$, sauf pour $i \leq l, j = n + 1 - i$, où $\Phi(e_i, e_j) = 1$;

(D_l) $n = 2l$ (avec $l \geq 2$), k est de caractéristique $\neq 2$ et $k^n$ est muni de la forme quadratique $Q = x_1x_n + \cdots + x_ix_{i+1}$.

On désigne par G_1 le groupe spécial orthogonal $\mathbf{SO}(Q)$ dans les cas (B_l) et (D_l), le groupe symplectique $\mathbf{Sp}(\Phi)$ dans le cas (C_l). On pose

a) Montrer que l’action de N_1 sur l’ensemble des droites $ke_i$ définit un homomorphisme de N_1, de noyau T_1, sur un sous-groupe W_1 de $\mathfrak{S}_n$, permettant d’identifier W_1 et N_1/T_1. Montrer que W_1 est le sous-groupe de $\mathfrak{S}_n$ engendré :

dans le cas (B_l) par les $\sigma_j = s_js_{n-j}$ pour $1 \leq j < l$ et par $\sigma_l = s_{l-1}s_l s_{l-1}$; dans le cas (C_l) par $\sigma_j = s_js_{n-j}$ pour $1 \leq j < l$ et par $\sigma_l = s_l$; dans le cas (D_l) par $\sigma_j = s_js_{n-j}$ pour $1 \leq j < l$ et par $\sigma_l = s_{l-1}s_l s_{l-1}s_l s_{l+1}s_l$.

b) Soit S_1 l’ensemble des $\sigma_j$ pour $1 \leq j \leq l$. Montrer que (G_1, B_1, N_1, S_1) est un système de Tits (pour démontrer que le sous-groupe H de G_1 engendré par B_1 et N_1 est G_1 tout entier, on raisonnera comme en Alg., chap. II, 3e éd., § 10, no 13, en remarquant que H contient le sous-groupe trigonal large inférieur de G_1 et que, quels que soient les $\xi_i \in k$ ($2 \leq i \leq n$), il existe une matrice $b = (b_{ij}) \in B_1$ telle que $b_{11} = 1,\ b_{1i} = \xi_i$ pour $2 \leq i \leq n-1$ et que $b_{1n} = \xi_n$ dans le cas (C_l), $b_{1n} = 0$ dans les cas (B_l) et (D_l). On raisonnera ensuite comme au no 2 en introduisant les sous-groupes $G_{1,j} = G_1 \cap (G_j.G_{n-j})$ pour $1 \leq j < l$ et le sous-groupe G_1, i des éléments de G_1 qui laissent fixes :

dans le cas (B_l) : les $e_i$ pour $i \neq l, l+1, l+2$ et le sous-espace engendré par $e_l, e_{l+1}$ et $e_{l+2}$; dans le cas (C_l) : les $e_i$ pour $i \neq l, l+1$ et le plan engendré par $e_l$ et $e_{l+1}$; dans le cas (D_l) : les $e_i$ pour $i < l-1$ ou $i > l+2$ et les deux plans engendrés respectivement par $e_{l-1}$ et $e_{l+1}$, et par $e_l$ et $e_{l+2}$.

On montrera que $G_{1,j}$ s’identifie soit à $\mathbf{GL}(2, k)$, soit à $\mathbf{SL}(2, k)$, soit au groupe spécial orthogonal de l’exerc. 19).

c) Montrer que le graphe de Coxeter du groupe $W_1$ est, suivant les cas, de type $(B_l)$, $(C_l)$ ou $(D_l)$ (chap. VI, § 4, n° 1).

d) Montrer que pour toute partie $X$ de $S_1$, le sous-groupe $G_{1X}$ se compose des $g \in G_1$ tels que $g(V_i) = V_i$ pour tout $i$ tel que $\sigma_i \notin X$, sauf dans le cas $(D_l)$, où la même assertion reste exacte à condition de désigner par $V_{r-1}$ le sous-espace engendré par $e_1, \ldots, e_{r-1}$ et $e_{r+1}$. En déduire, comme dans l’exerc. 18 b), une bijection $j$ de l’immeuble associé à $(G_1, B_1)$ sur l’ensemble des sous-espaces totalement isotropes $\neq 0$ dans les cas $(B_l)$ et $(C_l)$, sur l’ensemble des sous-espaces totalement isotropes de dimensions $\neq 0$ et $\neq r - 1$ dans le cas $(D_l)$. Montrer que des points $a_1, \ldots, a_k$ de $I$ appartiennent à une même facette si et seulement si $\{ j(a_1), \ldots, j(a_k) \}$ est un drapeau.