Bài tập 20, § 2

Ta dùng ký hiệu của no. 2, và giả sử rằng $k$ là giao hoán. Xét các trường hợp sau:

(B_l) $n = 2l + 1$ (với $l \geq 1$), $k$ có đặc số $\neq 2$ và $k^n$ được trang bị dạng toàn phương $Q = x_1x_n + \cdots + x_lx_{l+2} + x_{l+1}^2$; (C_l) $n = 2l$ (với $l \geq 1$) và $k^n$ được trang bị dạng phản xứng $\Phi$ sao cho $\Phi(e_i, e_j) = 0$ với $1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n$ và $i \leq j$, trừ khi $i \leq l, j = n + 1 - i$, khi đó $\Phi(e_i, e_j) = 1$; (D_l) $n = 2l$ (với $l \geq 2$), $k$ có đặc số $\neq 2$ và $k^n$ được trang bị dạng toàn phương $Q = x_1x_n + \cdots + x_lx_{l+1}$.

Ký hiệu bởi $G_1$ nhóm trực giao đặc biệt $\mathbf{SO}(Q)$ trong các trường hợp (B_l) và (D_l), và nhóm symplectic $\mathbf{Sp}(\Phi)$ trong trường hợp (C_l). Đặt

a) Chứng minh rằng tác động của $N_1$ trên tập hợp các đường thẳng $ke_i$ xác định một đồng cấu từ $N_1$, với hạt nhân $T_1$, lên nhóm con $W_1$ của $\mathfrak{S}_n$, cho phép ta đồng nhất $W_1$ với $N_1/T_1$. Chứng minh rằng $W_1$ là nhóm con của $\mathfrak{S}_n$ sinh bởi các $\sigma_j = s_j s_{n-j}$ với $1 \leq j < l$ và bởi $\sigma_l = s_{l-1} s_l s_{l-1}$ trong trường hợp (B_l); các $\sigma_j = s_j s_{n-j}$ với $1 \leq j < l$ và bởi $\sigma_l = s_l$ trong trường hợp (C_l); các $\sigma_j = s_j s_{n-j}$ với $1 \leq j < l$ và bởi $\sigma_l = s_{l-1} s_l s_{l-1} s_l s_{l+1} s_l$ trong trường hợp (D_l).

b) Gọi $S_1$ là tập hợp các $\sigma_j$ với $1 \leq j \leq l$. Hãy chỉ ra rằng $(G_1, B_1, N_1, S_1)$ là một hệ Tits (để chứng minh rằng nhóm con H của $G_1$ sinh bởi $B_1$ và $N_1$ là toàn bộ $G_1$, hãy lập luận như trong Đại số, Chương II, § 10, no. 13), nhận thấy rằng H chứa nhóm con tam giác dưới của $G_1$ và rằng, với mọi $\xi_i \in k$ ($2 \leq i \leq n$), tồn tại một ma trận $b = (b_{ij}) \in B_1$ sao cho $b_{11} = 1, b_{1i} = \xi_i$ với $2 \leq i \leq n-1$ và $b_{1n} = \xi_n$ trong trường hợp (C_l), còn $b_{1n} = 0$ trong các trường hợp (B_l) và (D_l). Sau đó hãy lập luận như trong no. 2, đưa vào các nhóm con $G_{1,j} = G_1 \cap (G_j; G_{n-j})$ với $1 \leq j < l$ và nhóm con $G_{1,l}$ gồm các phần tử của $G_1$ cố định

các $e_i$ với $i \neq l, l+1, l+2$ và không gian con sinh bởi $e_l, e_{l+1}$ và $e_{l+2}$ trong trường hợp (B_l);

các $e_i$ với $i \neq l, l+1$ và mặt phẳng sinh bởi $e_l$ và $e_{l+1}$ trong trường hợp (C_l);

các $e_i$ với $i < l-1$ hoặc $i > l+2$ và hai mặt phẳng sinh bởi $e_{l-1}$ và $e_{l+1}$, và bởi $e_1$ và $e_{l+2}$ trong trường hợp (D_l).

Hãy chỉ ra rằng có thể đồng nhất $G_{1,j}$, tương ứng, với $\mathbf{GL}(2, k), \mathbf{SL}(2, k)$ hoặc nhóm trực giao đặc biệt của Bài tập 19).

c) Hãy chỉ ra rằng đồ thị Coxeter của nhóm $W_1$ thuộc kiểu (Bl), (C_l) hoặc (D_l) trong ba trường hợp (Chương VI, § 4, no. 1).*

d) Hãy chỉ ra rằng, với mọi tập con X của $S_1$, nhóm con $G_{1X}$ gồm các $g \in G_1$ sao cho $g(V_i) = V_i$ với mọi $i$ sao cho $\sigma_i \notin X$, trừ trong trường hợp (D_l) ở đó mệnh đề tương tự là đúng với điều kiện rằng $V_{r-1}$ ký hiệu không gian con sinh bởi $e_1, \ldots, e_{r-1}$ và $e_{r+1}$. Hãy suy ra, như trong Bài tập 18 b), rằng tồn tại một song ánh $j$ từ building liên kết với $(G_1, B_1)$ tới tập hợp các không gian con hoàn toàn đẳng hướng $\neq 0$ trong các trường hợp (B_l) và (C_l), và tới tập hợp các không gian con hoàn toàn đẳng hướng có chiều $\neq 0$ và $\neq r-1$ trong trường hợp (D_l). Hãy chỉ ra rằng các điểm $a_1, \ldots, a_k$ của I thuộc cùng một mặt nếu và chỉ nếu $\{ j(a_1), \ldots, j(a_k) \}$ là một cờ.