Exercice 28, § 2

Soient G un groupe, M un sous-groupe maximal de G et U un sous-groupe distingué de M, satisfaisant à la condition (R) du n° 7. On suppose que G est égal à son groupe des commutateurs, qu’il est engendré par la réunion des conjugués de U et que l’intersection des conjugués de M est réduite à l’élément neutre. Montrer que G est simple. (Considérer un sous-groupe distingué N de G distinct de $\{1\}$; montrer que $G = N.M$, puis que $G = N.U.$)