Exercice 29, § 2

Soit H un groupe simple non commutatif. Soit $\theta$ un automorphisme de H d’ordre premier $p$ et soit U le produit semi-direct de $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ par H correspondant à $\theta$. Montrer que, si $\theta$ n’est pas un automorphisme intérieur, les seuls sous-groupes distingués de U sont $\{1\}$, H et U. En déduire que U n’est pas résoluble, mais qu’il satisfait à la condition (R) du n° 7. Application au groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$.