Bài tập 29, § 2

Cho $H$ là một nhóm đơn không Abel. Cho $\theta$ là một tự đẳng cấu của $H$ có cấp nguyên tố $p$ và cho $U$ là tích nửa trực tiếp của $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ bởi $H$ tương ứng với $\theta$. Hãy chỉ ra rằng, nếu $\theta$ không phải là một tự đẳng cấu trong, thì các nhóm con chuẩn tắc duy nhất của $U$ là $\{1\}$, $H$ và $U$. Suy ra rằng $U$ không giải được, nhưng nó thỏa mãn điều kiện (R) của no. 7. Áp dụng điều này để chỉ ra rằng nhóm đối xứng $\mathfrak{S}_n$ thỏa mãn điều kiện (R).