Exercice 8, § 1

Soient G un groupe de Lie compact semi-simple, u un automorphisme de G d’ordre deux, K la composante neutre de l’ensemble des points fixes de u, et X la variété G/K (on dit alors que l’espace homogène X est symétrique). a) Si G est presque simple, montrer que K est maximal parmi les sous-groupes fermés connexes de G distincts de G ; en d’autres termes (III, § 3, exer. 8), l’action de G sur X est primitive. On dit alors que l’espace symétrique X est irréductible. b) On suppose que la variété X est simplement connexe ; montrer qu’elle est alors isomorphe à un produit de variétés dont chacune est isomorphe ou bien à un groupe de Lie, ou bien à un espace symétrique irréductible.