Bài tập 8, § 1

Cho G là một nhóm Lie nửa đơn compact, $u$ là một tự đẳng cấu của G có cấp hai, K là thành phần đơn vị của tập hợp các điểm bất động của $u$, và X là đa tạp $G/K$ (không gian thuần nhất X khi đó được gọi là đối xứng). (a) Chứng minh rằng, nếu G là hầu đơn, thì K là cực đại trong các nhóm con đóng liên thông của G phân biệt với G; nói cách khác (Chương III, §3, Bài tập 8), phép toán của G trên X là nguyên thủy. Không gian đối xứng X khi đó được gọi là bất khả quy.

(b) Giả sử rằng đa tạp X là đơn liên; chứng minh rằng khi đó nó đẳng cấu với một tích của các đa tạp mà mỗi đa tạp trong số đó đẳng cấu hoặc với một nhóm Lie hoặc với một không gian đối xứng bất khả quy.