Exercice 17, § 4

On conserve les notations de l'exercice précédent ; on suppose de plus que le sous-groupe H est net (exerc. 15). a) Montrer que R(G, T) est contenu dans le sous-groupe de X(T) engendré par la réunion des R(λ) pour λ ∈ B_H. b) Soit Δ la composante neutre du sous-groupe de S formé des s ∈ S tels que λ(s) = μ(s) pour tous λ, μ dans B_H. Montrer qu'il existe une base {α_1, ..., α_l} de R(G, T) et un entier k, avec 0 ≤ k ≤ l − 1, tels que Δ soit la composante neutre de l'ensemble des t ∈ T satisfaisant à

(Soit x l'élément de L(S) tel que δ(λ)(x) = 2πi pour tout λ ∈ B_H ; déduire de a) qu'on a exp x ∈ C(G). Choisir {α_1, ..., α_l} de façon que iδ(α_j)(x) soit nul pour 1 ≤ j ≤ k et < 0 pour k + 1 ≤ j ≤ l ; montrer alors que pour λ ∈ B_H, toute racine de R(λ) s'écrit

avec j ≥ k + 1 et n_i ∈ N. Conclure en utilisant a).) c) Montrer que l'entier k ne dépend pas des choix des tores S, T et des bases B_H, {α_1, ..., α_l} ; il est égal au rang du groupe dérivé de Z_G(Δ).