Exercice 5, § 4

Soit $R$ un système de racines irréductible et réduit. a) Montrer que l’ensemble des racines de $R$ de plus grande longueur est une partie close et symétrique de $R$, stable par $W(R)$. b) Montrer que toute partie non vide $P$ de $R$, close, symétrique et stable par $W(R)$, est égale à $R$ ou à l’ensemble des racines de plus grande longueur de $R$. c) On suppose $P \neq R$. Montrer que le système de racines $P$ est de type $D_l$ (resp. $(A_1)^l, D_4, A_2$) si $R$ est de type $B_l$ (resp. $C_l, F_4, G_2$).