Exercice 5, § 5

On suppose le groupe G presque simple ; soit H un sous-groupe fermé connexe principal de G (§ 4, exerc. 18). On désigne par $\Phi$ le groupe des automorphismes $u$ de G qui fixent H, et par F le sous-groupe des éléments de G fixés par $\Phi$. a) Montrer qu’il existe un épinglage de G stable par $\Phi$. b) Montrer qu’on est dans l’une des situations suivantes : (i) on a $H = F_0$; (ii) G est de type $B_3$, H de type $G_2$ et $\Phi$ est réduit à l’identité; (iii) G est de type $A_6$, H de type $G_2$ et $\Phi$ d’ordre 2. (Utiliser l’exerc. 4 et l’exerc. 20 du § 4.)