Exercice 8, § 6

Soient $k$ un corps de caractéristique nulle et $E$ une bigèbre graduée gauche sur $k$ (A, III, p. 148, déf. 3). On suppose que $E$ est anticommutative et anticocommutative, et qu’on a $E_m = 0$ pour $m$ assez grand. On note $P$ le sous-espace des éléments primitifs de $E$ (cf. II, § 1). a) Montrer que tout élément homogène de $P$ est de degré impair (écrire $c(x^m)$ pour $m$ grand). En déduire un morphisme canonique de bigèbres graduées gauches $\varphi : \Lambda(P) \to E$ (la structure de bigèbre graduée gauche de $\Lambda(P)$ étant celle définie dans A, III, p. 198, exerc. 6). b) Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme (adapter la démonstration du th. 1 de II, § 1, no 6).