Exercice 2, § 7

Soit $G = SO(2l + 1, \mathbf{R})$, avec $l \geq 1$ ; on prend les notations de l'exercice 2 du § 4. On note $\sigma$ la représentation de $G$ dans $\mathbf{C}^{2l+1}$ obtenue par extension des scalaires à partir de la représentation identique. a) Le $\mathbf{Z}$-module $X(T)$ admet pour base $\varpi_1, ..., \varpi_{l-1}, 2\varpi_l$, ainsi que $\varepsilon_1, ..., \varepsilon_l$. b) On note $\eta_i$ l'élément $e^{\varepsilon_i} + e^{-\varepsilon_i}$ de $\mathbf{Z}[X(T)]$. Montrer que tout élément de $\mathbf{Z}[X(T)]^W$ s'écrit $P(\eta_1, ..., \eta_l)$ où $P$ est un polynôme symétrique en $l$ variables, à coefficients entiers. c) Montrer que les représentations $\Lambda^r \sigma$ ($r \leq 2l + 1$) sont irréductibles. Démontrer pour $r \leq l$ l'égalité

où les $s_k$ sont les polynômes symétriques élémentaires en $l$ variables. d) Montrer que l'homomorphisme $u : \mathbf{Z}[X_1, ..., X_l] \to R(G)$ tel que $u(X_i) = [\Lambda^i \sigma]$ est un isomorphisme.