Exercice 1, § 9

Soit A la partie compacte de $\mathbf{R}$ formée de 0 et des réels $1/n$, $n$ entier $\geqslant 1$. Montrer que lorsqu'on munit $C^r(\mathbf{R}; \mathbf{R})$ de la topologie de la $C^r$-convergence uniforme sur A, l'ensemble des morphismes qui sont des plongements au voisinage de A n'est pas ouvert dans $C^r(\mathbf{R}; \mathbf{R})$ (considérer une suite de fonctions $(f_n)_{n \geqslant 1}$ telle que $f_n(x) = x$ pour $x \leqslant \frac{1}{n+1}$, $f_n(x) = x - \frac{1}{n}$ pour $x \geqslant \frac{1}{n}$).