Exercice 1, § 2

Soit K un anneau commutatif ayant un élément unité, soit E un A-module, et soit E* son dual. On note $\varphi$ l’homomorphisme canonique de $E \otimes E^*$ dans $\mathrm{End}(E)$.

a) On appelle pseudo-réflexion de E tout élément distinct de 1 dans $\mathrm{End}(E)$ de la forme

avec $x \in E$ et $y^* \in E^*$. Un tel élément s est appelé une réflexion si l’on peut choisir $x, y^*$ de telle sorte que $\langle x, y^* \rangle = 2$; montrer que l’on a alors $s^2 = 1$ et $s(x) = -x$.

b) Soient $x \in E, y^* \in E^*$ tels que $\langle x, y^* \rangle = 1$ et soit s la réflexion correspondant au couple $(2x, y^*)$. Montrer que E est somme directe du sous-module $Kx$ engendré par $x$ et de l’orthogonal H de $y^*$. Montrer que $Kx$ est libre de base $x$, et que s est égal à 1 sur H et à $-1$ sur $Kx$.