Bài tập 1, § 2

Cho K là một vành giao hoán có phần tử đơn vị, cho E là một A-môđun, và cho $E^*$ là đối ngẫu của nó. Ký hiệu $\varphi$ là đồng cấu chính tắc từ $E \otimes E^*$ vào $\mathrm{End}(E)$.

a) Mọi phần tử phân biệt với 1 trong $\mathrm{End}(E)$ có dạng

với $x \in E$ và $y^* \in E^*$, được gọi là một giả-phản xạ trong E. Một phần tử như vậy s được gọi là một phản xạ nếu có thể chọn $x$ và $y^*$ sao cho $\langle x, y^* \rangle = 2$; hãy chứng minh rằng khi đó ta có $s^2 = 1$ và $s(x) = -x$.

b) Cho $x \in E, \ y^* \in E^*$ sao cho $\langle x, y^* \rangle = 1$. Hãy chứng minh rằng E là tổng trực tiếp của môđun con $Kx$ sinh bởi $x$ và phần bù trực giao H của $y^*$. Hãy chứng minh rằng $Kx$ là tự do với cơ sở $x$, và $s = s_{2x, y^*}$ bằng 1 trên H và bằng $-1$ trên $Kx$.