Exercice 4, § 3

Soient V un espace vectoriel réel de dimension finie, W un sous-groupe fini de GL(V) engendré par des réflexions, w un élément de W, V' un sous-espace vectoriel de V stable par w, et k l’ordre de la restriction w|V' de w à V'. Montrer qu’il existe x ∈ W d’ordre k, laissant V' stable, et tel que x|V' = w|V'. (Soit W' l’ensemble des éléments de W laissant fixes les points de V'. Ce groupe est engendré par des réflexions, et w permutte les chambres relatives à W'; en déduire qu’il existe h ∈ W' tel que wh laisse stable une chambre de W'; montrer que l’on peut prendre x = wh.)