Bài tập 4, § 3

Cho V là một không gian vectơ thực hữu hạn chiều, W là một nhóm con hữu hạn của $\mathbf{GL}(V)$ sinh bởi các phép phản xạ, $w$ là một phần tử của $W$, $V'$ là một không gian con vectơ của V ổn định dưới $w$, và $k$ là cấp của hạn chế $w|V'$ của $w$ lên $V'$. Chứng minh rằng tồn tại $x \in W$ có cấp $k$, giữ $V'$ ổn định, và sao cho $x|V' = w|V'$. (Gọi $W'$ là tập hợp các phần tử của $W$ cố định các điểm của $V'$. Nhóm này được sinh bởi các phép phản xạ, và $w$ hoán vị các buồng đối với $W'$; suy ra rằng tồn tại $h \in W'$ sao cho $wh$ giữ ổn định một buồng của $W'$; chứng minh rằng ta có thể lấy $x = wh$.)