Exercice 6, § 3

a) Soient K un corps commutatif, V un espace vectoriel de dimension finie n sur K, φ une forme bilinéaire symétrique sur V, N le noyau de φ. On suppose dim N = 1. Montrer que le noyau de l’extension de φ à $\bigwedge^{n-1} V$ est de dimension n − 1.

b) On suppose de plus K = R et φ positive. Soient $(e_1, \ldots, e_n)$ une base de V, et $a_{ij} = \varphi(e_i, e_j)$. On suppose $a_{ij} \leq 0$ pour $i \neq j$. On suppose que $\{1, 2, \ldots, n\}$ n’admet pas de partition I ∪ J telle que $a_{ij} = 0$ pour $i \in I, j \in J$. Soit $A_{ij}$ le cofacteur de $a_{ij}$ dans la matrice $(a_{ij})$. Montrer que $A_{ij} > 0$ quels que soient i et j. (Soit $\zeta_1 e_1 + \cdots + \zeta_n e_n$ un vecteur à coordonnées toutes > 0 engendrant N. Montrer que chaque ligne et chaque colonne de $(A_{ij})$ est proportionnelle à $(\zeta_1, \ldots, \zeta_n)$. En déduire que $A_{ij} = \mu \zeta_i \zeta_j$ avec une constante $\mu$. En considérant les $A_{ii}$, montrer que $\mu > 0$.)

c) Montrer que $\zeta_1, \ldots, \zeta_n$ sont proportionnels à $\sqrt{A_{11}}, \ldots, \sqrt{A_{nn}}$.