Bài tập 6, § 3

a) Cho K là một trường giao hoán, V là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn n trên K, $\varphi$ là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V, và N là hạt nhân của $\varphi$. Giả sử rằng $\dim N = 1$. Chứng minh rằng hạt nhân của mở rộng của $\varphi$ lên $\bigwedge^{n-1} V$ có chiều $n-1$.

b) Giả sử thêm rằng $K = \mathbf{R}$ và $\varphi$ là dương. Cho $(e_1, \ldots, e_n)$ là một cơ sở của V, và $a_{ij} = \varphi(e_i, e_j)$. Giả sử rằng $a_{ij} \leq 0$ với $i \neq j$. Giả sử rằng không có phân hoạch $I \cup J$ của $\{1, 2, \ldots, n\}$ sao cho $a_{ij} = 0$ với $i \in I, j \in J$. Gọi $A_{ij}$ là phần bù đại số của $a_{ij}$ trong ma trận $(a_{ij})$. Chứng minh rằng $A_{ij} > 0$ với mọi $i$ và $j$. (Cho $\zeta_1 e_1 + \cdots + \zeta_n e_n$ là một vectơ sinh N, tất cả các tọa độ của nó đều $> 0$. Chứng minh rằng mọi hàng và cột của $(A_{ij})$ đều tỉ lệ với $(\zeta_1, \ldots, \zeta_n)$.

Suy ra rằng $A_{ij} = \mu \zeta_i \zeta_j$ với một hằng $\mu$ nào đó. Bằng cách xét các $A_{ii}$, chứng minh rằng $\mu > 0$.

c) Chứng minh rằng $\zeta_1, \ldots, \zeta_n$ tỉ lệ với $\sqrt{A_{11}}, \ldots, \sqrt{A_{nn}}$.