Exercice 4, § 6

Groupes et algèbres de Lie, V

Les hypothèses et notations étant celles du n° 1, on désigne par $m_i$ l’ordre de $s_{H_i} s_{H_j}$ , et l’on pose $a_{ij} = -2 \cos \frac{\pi}{n_{ij}}$ . On a $a_{ii} = 2$ et $a_{ij} \leq 0$ si $i \neq j$ , cf. § 3. Montrer, au moyen de l’exercice précédent, que l’on a :

\begin{vmatrix} X & a_{12} & \cdots & a_{1l} \\ a_{21} & X & \cdots & a_{2l} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{l1} & a_{l2} & \cdots & X \end{vmatrix} = \prod_{i=1}^l (X - 2 \cos (\pi m_i/h)),

où $m_1, \ldots, m_l$ désignent les exposants de $W (*)$ .

(*) Pour plus de détails, voir : H. S. M. Coxeter, The product of the generators of a finite group generated by reflexions, Duke Math. Journal, t. XVIII (1951), p. 765-782.

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