Exercice 2, § 1

On suppose k parfait. Soient V un espace vectoriel de dimension finie, et $u, v \in \mathrm{End}\ V$. Soient $u_s, u_n, v_s, v_n$ les composantes semi-simples et nilpotentes de $u, v$. Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) il existe un entier m tel que $(\mathrm{ad}\ u)^m v = 0$; (ii) $u_s$ et $v$ commutent. (Pour prouver (i) $\Rightarrow$ (ii), se ramener au cas où k est algébriquement clos et utiliser le lemme l (ii)).