Bài tập 2, § 1

Giả sử rằng $k$ là hoàn hảo. Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều, và $u, v\in$ End(V). Gọi $u_s, u_n, v_s, v_n$ là các thành phần nửa đơn và lũy linh của $u, v$. Các điều kiện sau là tương đương: (i) tồn tại một số nguyên $m$ sao cho (ad $u$)$^mv= 0$; (ii) $u_s$ và $v$ giao hoán. (Để chứng minh (i) $=\Rightarrow$ (ii), rút gọn về trường hợp $k$ đóng đại số và sử dụng Bổ đề 1 (ii).)