Exercice 15, § 3

On suppose $k$ algébriquement clos. Soient $g$ une algèbre de Lie, $h$ une sous-algèbre de Cartan de $g$, et $A$ une partie de $g$. On suppose que $A$ est dense dans $g$ (pour la topologie de Zariski) et stable par $\mathrm{Aut}_e(g)$. Montrer que $A \cap h$ est dense dans $h$. (Soient $X$ l'adhérence de $A \cap h$, et $U = h - X$. Supposons $U \neq \emptyset$. Avec les notations du lemme 2, l'image par $F$ de $U \times g^{\lambda_1}(h) \times \cdots \times g^{\lambda_p}(h)$ contient un ouvert non vide de $g$. Comme cette image est contenue dans $g - A$, cela contredit le fait que $A$ est dense dans $g$.)