Exercice 8, § 3

Soient $g$ une algèbre de Lie, $a$ un idéal de $g$, $h$ une sous-algèbre de Cartan de $g$ et $\mathscr{C}_\infty g$ la réunion de la série centrale ascendante de $g$. Montrer que $a \subset h$ entraîne $a \subset \mathscr{C}_\infty g$ (autrement dit $\mathscr{C}_\infty g$ est le plus grand idéal de $g$ contenu dans $h$). (Se ramener au cas où $k$ est algébriquement clos et remarquer que $a$ est stable pour tout automorphisme élémentaire de $g$; la relation $a \subset h$ entraîne alors que $a$ est contenu dans toute sous-algèbre de Cartan de $g$; conclure au moyen de l’exerc. 15 du § 2.)