Exercice 4, § 4

On suppose que $k = \mathbf{C}$ et que $G$ est connexe. Démontrer l’équivalence des propriétés: (i) $G$ est nilpotent. (ii) Tout élément $\neq 1$ de $G$ est régulier. (Montrer d’abord que (ii) implique: (ii)’ Tout élément $\neq 0$ de $g$ est régulier. Remarquer ensuite que, si $g \neq 0$, $g$ contient des éléments $x \neq 0$, tels que $ad\, x$ soit nilpotent, cf. §3, exerc. 10. En déduire que $g$ est nilpotente, d’où (i).)