Exercice 2, § 3

Soit X un espace topologique, soit $\mathscr{F}$ un faisceau de groupes abéliens sur X.

a) Soit $s\in \mathscr{F}(X)$. Démontrer qu’il existe une plus petite partie fermée $F\subset$ X telle que $s|(X-F) = 0$. On la note supp($s$) et on l’appelle le support de $s$. b) Soit $\mathscr{G}$ un faisceau de groupes abéliens sur X et soit $u:\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$ un morphisme de faisceaux de groupes abéliens. Démontrer que, pour toute section $s\in \mathscr{F}(X)$, on a supp($u_X(s)$)$\subset$ supp($s$).

c) Inversement, soit $v:\mathscr{F}(X)\rightarrow \mathscr{G}(X)$ un morphisme de groupes abéliens tel que supp($v(s)$)$\subset$ supp($s$) pour tout $s\in \mathscr{F}(X)$. Si le faisceau $\mathscr{F}$ est fin, démontrer qu’il existe un unique morphisme de faisceaux $u:\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$ tel que $v=u_X$.