Exercice 10, § 10

Soient $X, Y$ deux espaces topologiques. On dit qu’une correspondance $(G, X, Y)$ entre $X$ et $Y$ (E, II, p. 10) est propre si la restriction de la projection $pr_2$ au graphe $G$ est une application propre $G \to Y$.

a) Soit $f$ une application de $X$ dans $Y$; montrer que, pour que $f$ soit continue, il faut et il suffit que la correspondance $\overline{f}$ entre $Y$ et $X$ soit propre. Pour que $f$ soit propre, il faut et il suffit que les correspondances $\overline{f}$ (entre $Y$ et $X$) et $\overline{f}$ (entre $X$ et $Y$) soient propres. En déduire un exemple d’application $f$ non continue telle que la correspondance $f$ soit propre.

b) Si $(G, X, Y)$ est une correspondance propre, montrer que, pour toute partie fermée $A$ de $X, G(A)$ est une partie fermée de $Y$.