Bài tập 10, § 10

Cho $X, Y$ là hai không gian tôpô. Một sự tương ứng $(G, X, Y)$ giữa $X$ và $Y$ (Lý thuyết tập hợp, chương II, § 3, no. 1) được gọi là thực sự nếu hạn chế của phép chiếu $pr_2$ lên đồ thị $G$ là một ánh xạ thực sự $G \to Y$.

a) Cho $f : X \to Y$ là một ánh xạ. Chứng minh rằng $f$ liên tục khi và chỉ khi sự tương ứng $\overline{f}$ giữa $Y$ và $X$ là thực sự, và rằng $f$ là một ánh xạ thực sự khi và chỉ khi các sự tương ứng $\overline{f}$ (giữa $Y$ và $X$) và $f$ (giữa $X$ và $Y$) là thực sự. Do đó xây dựng một ví dụ về một ánh xạ không liên tục $f$ sao cho sự tương ứng $f$ là thực sự.

b) Nếu $(G, X, Y)$ là một sự tương ứng thực sự, chứng minh rằng $G(A)$ là một tập con đóng của $Y$ mỗi khi $A$ là một tập con đóng của $X$.