Exercice 12, § 10

a) Pour qu’une correspondance $(G, X, Y)$ soit propre, il faut et il suffit que pour tout espace topologique $Z$ et toute correspondance $(E, Z, X)$ dont le graphe $E$ est fermé dans $Z \times X$, le graphe $G \circ E$ soit fermé dans $Z \times Y$. (Pour voir que la condition est nécessaire, remarquer que $G \circ E$ est l’image de $(E \times Y) \cap (Z \times G)$ par $Id_z \times pr_2 : Z \times G \to Z \times Y$. Pour voir qu’elle est suffisante, soit $\delta_Y$ l’application diagonale $Y \to Y \times Y$; montrer que pour toute partie $F$ de $(Z \times Y) \times X$ l’image réciproque de $G \circ F$ par l’application $Id_z \times \delta_Y : Z \times Y \to Z \times Y \times Y$ est l’image, par l’application $(y, z) \mapsto (z, y)$, de l’ensemble $pr_{23}(\overline{F} \cap (G \times Z))$, où $\overline{F}$ est l’image de $F$ par l’application $(z, y, x) \mapsto (x, y, z)$.)

b) Déduire de a) que la composée de deux correspondances propres est une correspondance propre.

c) Soit $(G, X, Y)$ une correspondance propre. Montrer que si $X$ est séparé, $G$ est fermé dans $X \times Y$.