Bài tập 12, § 10

a) Một sự tương ứng $(G, X, Y)$ là thực sự khi và chỉ khi, với mọi không gian tôpô $Z$ và mọi sự tương ứng $(E, Z, X)$ mà đồ thị $E$ đóng trong $Z \times X$, đồ thị $G \circ E$ đóng trong $Z \times Y$. Trước hết để chỉ ra rằng điều kiện là cần, nhận xét rằng $G \circ E$ là ảnh của $(E \times Y) \cap (Z \times G)$ qua $i_Z \times pr_2 : Z \times G \to Z \times Y$. Để chỉ ra tính đủ, cho $\delta_Y$ là ánh xạ đường chéo $Y \to Y \times Y$; chỉ ra rằng, với mỗi tập con $F$ của $(Z \times Y) \times X$, ảnh ngược của $G \circ F$ qua ánh xạ

là ảnh, qua ánh xạ $(y, z) \mapsto (z, y)$, của tập hợp trong đó $\overline{F}$ là ảnh của $F$ qua ánh xạ $(z, y, x) \mapsto (x, y, z)$. b) Suy ra từ a) rằng hợp thành của hai sự tương ứng thực sự là một sự tương ứng thực sự. c) Cho $(G, X, Y)$ là một sự tương ứng thực sự. Chỉ ra rằng nếu $X$ là Hausdorff thì $G$ đóng trong $X \times Y$.