Exercice 13, § 10

Soient $X$ un espace localement compact, $Y$ un espace topologique.

a) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes: $\alpha)$ $(G, X, Y)$ est une correspondance propre entre $X$ et $Y$.

β) Pour tout espace séparé X' contenant X comme sous-espace, G est fermé dans X' × Y. γ) G est fermé dans X × Y, et pour tout y ∈ Y, il existe un voisinage V de y dans Y et une partie compacte K de X tels que (X − K) × V ne rencontre pas G. δ) Il existe un espace compact X' contenant X comme sous-espace, et tel que G soit fermé dans X' × Y. (Pour prouver que α) implique β), utiliser les exerc. 12 a) et c). Pour prouver que δ) entraîne α), utiliser la prop. 2 de I, p. 72 et le cor. 5 de I, p. 77.) b) Montrer que si (G, X, Y) est propre, on a la propriété suivante: ζ) Pour toute partie compacte L de Y, $\overline{G}(L)$ est un ensemble compact. Prouver en outre que si Y est localement compact et si G est fermé dans X × Y et vérifie la condition ζ), alors (G, X, Y) est propre. (Utiliser l’équivalence de α) et γ)). Cette dernière assertion n’est plus valable lorsque Y est séparé, mais n’est plus supposé localement compact (I, p. 111, exerc. 4).