Bài tập 13, § 10

Cho $X$ là một không gian compact địa phương và $Y$ là một không gian tôpô bất kỳ. a) Chứng minh rằng bốn mệnh đề sau là tương đương: $\alpha)$ $(G, X, Y)$ là một sự tương ứng thực sự giữa $X$ và $Y$. $\beta)$ Với mỗi không gian Hausdorff $X'$ chứa $X$ như một không gian con, $G$ là đóng trong $X' \times Y$. $\gamma)$ $G$ là đóng trong $X \times Y$, và với mỗi $y \in Y$ tồn tại một lân cận $V$ của $y$ trong $Y$ và một tập con compact $K$ của $X$ sao cho $(X - K) \times V$ không gặp $G$. $\delta)$ Có một không gian compact $X'$, chứa $X$ như một không gian con, sao cho $G$ là đóng trong $X' \times Y$. [Để chứng minh rằng $\alpha) \implies \beta)$ sử dụng Bài tập 12 a) và c). Để chứng minh rằng $\delta) \implies \alpha)$, sử dụng Mệnh đề 2 của no. 1 và Hệ quả 5 của Định lý 1 của no. 2.]

b) Chứng minh rằng nếu $(G, X, Y)$ là thực sự, thì: $\zeta)$ Với mỗi tập con compact $L$ của $Y$, $\overline{G}(L)$ là một tập compact. Cũng chứng minh rằng nếu $Y$ là compact địa phương và nếu $G$ là đóng trong $X \times Y$ và thỏa mãn $\zeta)$, thì $(G, X, Y)$ là thực sự. [Sử dụng sự tương đương của $\alpha)$ và $\gamma)$.] Khẳng định cuối cùng này không còn đúng khi $Y$ là Hausdorff nhưng không compact địa phương (Bài tập 4).