Exercice 9, § 10

a) Soient $X, Y$ deux espaces topologiques $f : X \to Y$ une application fermée surjective (non nécessairement continue). Montrer que si pour tout $y \in Y, \overline{f}(y)$ est quasi-compact, alors, pour toute partie quasi-compacte $K$ de $Y, \overline{f}(K)$ est quasi-compact (raisonner directement, ou utiliser l’exerc. 7 de I, p. 106 et l’exerc. 13 de I, p. 107).

b) On suppose en outre $X$ régulier. Montrer que si, pour tout $y \in Y, \overline{f}(y)$ est fermé dans $X$, alors, pour toute partie quasi-compacte $K$ de $Y, \overline{f}(K)$ est fermé dans $X$ (mêmes méthodes). Si de plus $Y$ est localement compact, alors $f$ est continue.