Bài tập 9, § 10

a) Cho $X, Y$ là hai không gian tôpô và $f : X \to Y$ là một ánh xạ toàn ánh đóng (nhưng không nhất thiết liên tục). Chứng minh rằng nếu $\overline{f}^{-1}(y)$ là tựa compact với mỗi $y \in Y$, thì $\overline{f}^{-1}(K)$ là tựa compact với mỗi tập con tựa compact $K$ của $Y$ (hoặc chứng minh trực tiếp kết quả, hoặc sử dụng Bài tập 7 của § 5 và Bài tập 12 của § 9).

b) Giả sử thêm rằng $X$ là chính quy. Chứng minh rằng nếu $\overline{f}^{-1}(y)$ là đóng trong $X$ với mỗi $y \in Y$, thì $\overline{f}^{-1}(K)$ là đóng trong $X$ với mỗi tập con tựa compact $K$ của $Y$ (cùng các phương pháp). Nếu $Y$ cũng là địa phương compact thì $f$ liên tục.