Exercice 12, § 11

Soit $X$ un espace topologique. Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes : $\alpha)$ les composantes connexes de $X$ sont des parties ouvertes de $X$; $\beta)$ tout point $x \in X$ possède un voisinage qui est contenu dans tout ensemble à la fois ouvert et fermé contenant $x$; $\gamma)$ pour tout $x \in X$, l’intersection des ensembles à la fois ouverts et fermés contenant $x$ est un ensemble ouvert.